ANÁLISE COMBINATÓRIA

 

01   - Introdução:

 

A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

 

Pascal

Fermat

Tartaglia


02 - Fatorial

 

Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta matemática chamada Fatorial.

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n
³ 2.

Exemplos:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 3! = 3.2.1 = 6

Perceba que 7! = 7.6.5.4!, ou que

6! = 6.5.4.3!, e assim sucessivamente.

 

Casos especiais:

0! = 1
1! = 1

 

Você pode calcular fatoriais on-line clicando aqui.

 

03 - Princípio fundamental da contagem - PFC

 

Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn

 

Exemplo:
 
01. No Brasil as placas dos veículos são confeccionadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Imaginemos a seguinte situação: Placa ACD – 2172.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000.

 

02. No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as placas dos veículos eram confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado neste sistema?

Imaginemos a seguinte situação: Placa AC – 2172.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.10.10.10.10 que resulta em 6.760.000.

Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados, aproximadamente, mais 170.000.000 de veículos.

 

04 - Arranjos simples

 

Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos.

Perceba que, se quisermos formar centenas de algarismos distintos, utilizando apenas os 5 primeiros números ímpares (1; 3. 5;7; 9) teremos as seguintes centenas:135; 137;139; 153, 157, e assim sucessivamente.

Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 ≠ 351. Temos então um ARRANJO de 5 números (1; 3;5;7;9) em grupos de três (centenas).

 

Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:

 

 

Resolvendo o problema das centenas temos:

A5,3 = 5!/(5-3)!

A5,3 = 5!/2!

A5,3 = 5.4.3.2!/2!

A5,3 = 5.4.3 = 60

Logo, utilizando apenas os cinco primeiros números impares, podemos formar 60 centenas de algarismos diferentes.

 

Exemplo 02:

Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?

An,k = n!/(n-k)!, n=26, k=3
Resposta: A = 26!/23! = 26.25.24.23!/23! = 26.25.24 = 15600

Você pode calcular arranjos simples com o executável disponível aqui.

 

04 - Permutações simples

 

Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. 

 

De outro modo, podemos entender permutação simples como um caso especial de arranjo, onde n = k, ou seja:

 

An,k = n!/(n – k)!

An, n = n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n!

Chega-se então à relação:

Pn = n!

Exemplos:

 

01. Quantas possibilidades de agrupamentos há com os elementos A,B,C?

 

São possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

De forma matemática: P3 = 3! = 3.2.1 = 6

 

02. Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

03. Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Calcule o número de anagramas da palavra MUNDIAL.

 

P7 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

 

Você pode calcular permutações simples com o executável disponível aqui.

 

05 - Permutações com elementos repetidos

 

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

 

 

Exemplo: 

01. Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)

Temos 10 elementos, com repetições. A letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2.
P = 10! / (2!.3!.2!) = 151200

02. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA?

 

Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra A se repete duas vezes)

P = 5!/2! = 5.4.3 = 60

 

03. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?

 

Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra R se repete duas vezes) e b = 3 (a letra A se repete três vezes).

P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10

 

06 - Combinações simples

 

Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos.

Perceba que se houver cinco pessoas entre as quais desejamos formar grupos de três, o grupo formado por João, Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por Luís, Pedro e João. Temos, então, uma combinação de cinco elementos em grupos de três.

 

Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a (taxa k) , temos a seguinte fórmula:

 

 

Resolvendo o problema dos grupos de 3 pessoas, temos:

C5,3 = 5!/[(5-3)!.3!]

C5,3 = 5!/[(2!.3!]

C5,3 = 5.4.3!/[2.3!]

C5,3 = 20/2 = 10

Podem ser formados 10 grupos distintos.

 

Exemplo:

01. Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. 

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003

 

02. Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?

C7,3 = 7! / [(7-3)! . 3!] = 7! / (4! . 3!) = 7.6.5.4! / 4!.3.2.1 = 35

 

03. Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos?

C9,2 = 9! / [(9-2)! . 2!] = 9! / (7! . 2!) = 9.8.7! / 7!.2.1 = 36

Você pode calcular combinações simples com o executável disponível aqui.

 

07. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 

1. PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA , vol. único. Editora Moderna,

2. http://www.terra.com.br/matematica/arq3-1.htm

3. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/conline/progs/fatorial.htm

4. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/205/mod205.htm

5. http://tatooine.fortunecity.com/stephenson/51/matematica/ancomb.html