CIRCUNFERÊNCIA

Muitos consideram a roda uma das maiores, se não a maior invenção da humanidade. Outros não a consideram uma invenção, mas uma descoberta...

 

Matematicamente, a roda é representada por um círculo, e a sua respectiva circunferência.

Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância de um ponto fixo. A este ponto chamamos centro da circunferência e a distância dele até qualquer ponto da circunferência é chamada de Raio.

Equação da circunferência:

Sendo C(a, b) o ponto central da circunferência, e R a medida do seu raio, encontramos a equação cartesiana da circunferência através da equação:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2

Deste modo, a equação da circunferência que tem centro no ponto C(2, 3) e raio igual a 1 será:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 12

x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 1

x2 + y2 – 4x – 6y +12 = 0

Se o centro da circunferência for a origem do plano cartesiano a sua equação ficará reduzida à:

 

x2 + y2 = R2

 

Por exemplo: a circunferência de centro na origem e cujo raio mede 6 tem equação

x2 + y2 = 62

x2 + y2 = 36

Determinação de centro e raio:

Na equação Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 podemos encontrar o centro e o raio da circunferência com facilidade, basta que façamos o seguinte:

a = C/-2 e b = D/-2

Estas fórmulas têm origem nas seguintes relações:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0

Comparando as duas equações:

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = Ax2 + By2 + Cx + Dy + E, donde tiramos que:

-2a = C, então a = C/-2

-2b = D, então b = D/-2

a2 + b2 - R2 = E

R2 = a2 + b2 – E, então

CUIDADO:

Nem sempre uma equação do tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 representa uma circunferência. Veja o exemplo a seguir:

x2 + y2 – 6x + 2y +20 = 0.

Ao calcular o seu centro e o valor do raio chegamos na seguinte relação:

a = -6/-2 = 3

b = 2/-2 = -2, logo ela tem centro no ponto C(3, -1)

Este valor não pertence ao conjunto dos números reais, logo não há um valor para o raio. Ora, se não existe raio, não existe circunferência. Portanto, a equação

x2 + y2 – 6x + 2y +20 = 0 não é uma circunferência!

Condições para que a equação represente uma circunferência

Para que a equação Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 represente uma circunferência ela deve verificar duas condições:

A = B = 1 e

a2 + b2 – E > 0.

 CÍRCULO: o Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo central é menor ou igual que uma distância r dada. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma.

Definição de círculo

Um círculo que tenha centro no ponto C(a, b) e raio medindo R pode ser definido através da seguinte relação:

(x – a)2 + (y – b)2 ≤ R2