LOGARITMOS

1. INTRODUÇÃO

A Matemática, por ser uma ciência de base, apresenta inúmeras aplicações em outros campos de estudo e em outras ciências. Qualquer que seja o ramo do conhecimento humano ao qual direcionemos nossas habilidades iremos nos defrontar, cedo ou tarde, com a Matemática e seus "mistérios".
Os logaritmos são bons exemplos desta aplicabilidade da Matemática. Eles surgiram a partir da necessidade do homem de resolver problemas com números muito grandes, como os que temos ao estudar astronomia ou números muito pequenos, como os que aparecem no estudo das moléculas. A fim de facilitar operações de multiplicação e divisão entre os números foram desenvolvidas as teorias sobre logaritmos. Neste desenvolvimento merece destaque o matemático Jonh Napier (1550-1617), que após vinte anos de trabalho publicou as obras "Descrição das normas dos logaritmos maravilhosos" e "Cálculo das normas dos logaritmos maravilhosos".

Na atualidade, com o advento das calculadoras e computadores, os logaritmos perderam muito da sua utilidade inicial. No entanto muitas aplicações foram desenvolvidas com base na teoria dos logaritmos. Entre elas podemos destacar o cálculo do nível de intensidade sonora, a escala Richter, para avaliar a intensidade de terremotos e os cálculos de ph e poh na Química.

O princípio dos logaritmos baseia-se no fato de algumas operações serem mais acessíveis do que outras. Deste modo, com a utilização dos logaritmos podemos transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações e potências em multiplicações.

2. DEFINIÇÃO

Chamamos de logaritmo de a, na base b, ao número c, tal que:

Onde:

a = logaritmando

b = base

c = logaritmo

Uma observação importante sobre o estudo dos logaritmos diz respeito ao seu domínio ou campo de existência. Só existem logaritmos de números positivos, com bases também positivas e diferentes de 1. Ou seja, para calcular o logaritmo de a, na base b, é necessário que a > 0 e .

Desta forma, podemos afirmar que:

Você pode calcular logaritmos de base dez, on-line, clicando aqui.

2.1 ALGUNS LOGARITMOS ESPECIAIS:

1) O logaritmo da unidade, em qualquer base, é nulo, ou seja:

2) O logaritmo de um valor, na mesma base, é sempre igual a 1, ou seja:

3) O logaritmo de uma potência, cuja base seja igual à base do logaritmo, será igual ao expoente da potência.

4) Se log M = log N então podemos concluir que M = N.

Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

5) b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M

3. BASES ESPECIAIS

Entre as bases de logaritmos, duas se destacam, tanto pela sua aplicabilidade prática, quanto pela sua importância no trato com logaritmos. Estas duas bases são a base dez e a base e.

3.1 Base dez:

Quando um logaritmo apresenta a base dez, dizemos que se trata de um logaritmo decimal. A base dez, por convenção, não precisa ser escrita. Veja os exemplos:

3.2 Base e:

O número e, é conhecido como número de Euller e vale aproximadamente 2,718... Este número tem origem na expressão

Quando um logaritmo possui base e, ele é chamado de logaritmo neperiano, e representado por ln. Deste modo:

4. MUDANÇA DE BASE

A base de um logaritmo pode ser modificada de acordo com a necessidade ou com os dados de um determinado problema. Um bom exemplo de necessidade de mudança de base de logaritmos é a utilização das calculadoras. Como vimos anteriormente, as calculadoras trabalham apenas com a base 10 e base e. Desta forma, se quisermos encontrar, utilizando calculadoras, o valor de um logaritmo que não esteja numa destas duas bases, precisamos modificá-la.

Para mudar a base de um logaritmo utilizamos a seguinte relação:

Deste modo, podemos estabelecer as seguintes igualdades:

5. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Foi dito, no início deste texto, que os logaritmos permitem transformar multiplicações em somas e subtrações em divisões, entre outras alterações que visam facilitar o trato dos números.

Estas transformações são possíveis com a utilização das propriedades dos logaritmos, que veremos a seguir.

5.1 LOGARITMO DO PRODUTO:

5.2 LOGARITMO DO QUOCIENTE:

5.3 LOGARITMO DA POTÊNCIA:

5.3.1 CASO PARTICULAR: LOGARITMO DE RAIZ:

Um caso particular da propriedade de logaritmo da potência, é o logaritmo de raízes. Para tanto, basta transformar a raiz nma potência de expoente fracionário, conforme o modelo a seguir:

Você pode calcular logaritmos com aplicativos próprios, que podem ser conseguidos clicando aqui.

6. FUNÇÃO LOGARITMICA

6.1 DEFINIÇÃO

Chamamos de função logaritmica, à função da forma

6.2 DOMÍNIO E IMAGEM

Percebe-se, da definição de logarítmos, que esta fnção deve apresentar os seguintes conjuntos para domínio e imagem:

Domínio: x > 0 , com
Imagem: Reais

6.3 GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARITMICAS

Observe os gráficos das funçõs logaritmicas a seguir, que estão comparados aos gráficos das suas respectivas funções inversas. Lembre-se que o gráfico de uma função e o da sua inversa são simétricos em relação á bissetriz dos quadrantes ímpares (reta x = y).

Função logaritmica crescente: (base a > 1)

Função logaritmica decrescente: (base 0< a< 1)

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA , vol. único. Editora Moderna,

2.SUZA, Maria Helena Soares de; SPINELLI, Walter. MATEMÁTICA, 2 grau - vol 1. Editora Scipione.

3.http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/203/logaritm.htm

4. http://www.terra.com.br/matematica/arq14-1.htm