DETERMINANTES

Definição:

Determinantes são números associados à matrizes quadradas. Representamos o determinante de uma matriz através de duas barras verticais. Deste modo, se a matriz A é da da por


então representamos o seu determinante por

Cálculo de Determinantes:

Cada ordem de matriz apresenta uma forma particular para o cálculo do seu determinante.
1. Determinante de uma matriz de primeira ordem.
O determinante da matriz A de ordem 1, é o próprio número que origina a matriz.Por exemplo:A = ( 3 ), então det. A = 3
2. Determinante de matriz de segunda ordem.
Para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem basta subtrairmos o produto da diagonal secundária, do produto da diagonal principal.

Por exemplo: o determinante da matriz

é dado por: 0.(-1) - 2.1 = 0 - 2 = -2.3.

Determinante de matriz de terceira ordem.Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo.

= (aei + dhc + gbf) - (ceg + fha + idb)

Por exemplo: o determinante da matriz

é dado por: (2.1.3 + 7.1.(-1) + 8.2.(-4)) - ((-1).1.8 + (-4).1.2 + 3.2.7) = (6 - 7 - 64) - (-8 - 8 + 42) = (-65) - (26) = 91.4.

Determinantes de ordem maior ou igual a 4.
Para calcularmos o determinantes de matrizes com ordem igual ou superior a quatro, podemos reduzir a sua ordem, utilizando o seguinte procedimento:

Dada a matriz quadrada

chamamos de determinante de A ao número det A = a11. D11 - a12. D12 + a13. D13 - ... + (-1)n+1. a1n. D1n, onde D11, D12. D13, ... , são os números complementares dos elementos a11, a12, a13, ..., a1n da matriz A.
Para calcular estes números complementares, devemos eliminar a linha e a coluna a que o número em questão pertence. Deste modo, para calcular o complementar de a11, devemos eliminar a 1a linha e a 1a coluna da matriz A. Já para encontrar o complementar de a13, devemos eliminar a 1a linha e a 3a coluna da matriz A.Por exemplo: dada a matriz

o

Det A será dado por:

Calculando os determinantes das matrizes de terceira ordem, pela regra de sarrus, temos:1.0 - 0.12 -3.(-12) - 2.(-8)=0 - 0 + 36 + 16 = 52

Este procedimento deve ser utilizado para matrizes de ordem superior a quatro. Neste caso reduzimos a matriz sucessivamente, até que ela atinja a ordem 3, quando então aplicamos a regra de Sarrus.Você pode calcular determinantes de tereceira ordem, on-line, clicando aqui.

Propriedades dos Determinantes:
1. det A = det At
2. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero.

3. Se duas filas paralelas de um determinante forem iguais, ou proporcionais, o determinante será nulo.Exemplo 1:

O determinante é nulo porque a primeira e a terceira coluna são iguais (C1 = C3).

Exemplo 2:

O determinante é nulo porque a terceira coluna é o triplo da primeira. (C3 = 3.C1).

4. Um determinante é nulo se uma fila for combinação linear de outras filas paralelas.

Exemplo 1:

O determinante é nulo porque L1 + L2 = L3

Exemplo 2:

O determinante é nulo porque 2.L1 + L2 = L3
5. Um determinante troca de sinal quando trocamos a posição de duas filas paralelas. Você pode calcular determinantes com o auxílio de aplicativos específicos. Sugerimos o matrix ou o winmatrix, que você pode baixar clicando sobre o nome dos arquivos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA , vol. único. Editora Moderna.
2. TROTTA, Fernando. MATEMÁTICA POR ASSUNTO, vol. 5. Editora Scipione.
3. pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/206/mod206b.htm
.
4.www.terra.com.br/matematica/arq12-1.htm.
5.www.snitran.hpg.com.br