O que são números imaginários e para que são usados?

Os números imaginários ou complexos são uma das tantas abstrações matemáticas que facilitam o cálculo e a resolução de muitos problemas. Em vários campos científicos e técnicos são utilizados durante o desenrolar de um problema e quando se querem extrair dados concretos para aplicar na realidade, quando se transpõe o resultado em número complexo para o resultado em número real, que é o que podemos "medir" (não podemos medir com um instrumento físico um número complexo).

Na realidade, todo número complexo está composto de duas partes: uma parte real e uma parte imaginária. Quando queremos extrair um resultado para aplicá-lo a nossas medições no mundo físico, usamos só a parte real do número complexo. Com tudo isto, podemos ver que os números complexos constituem uma estrutura algébrica que engloba a estrutura dos números reais.

Se entrarmos em detalhes algébricos, sabemos que existem várias classes de números, que de forma muito simples podemos descrever como:

Os números naturais

São eles 0,1,2,3,4, etc..., onde cada um é obtido somando uma unidade ao anterior.

Os números inteiros

Incluem números inteiros positivos e números inteiros negativos, além do número zero: -1, -2, -3, etc...

Os números negativos

Foram introduzidos na Idade Média para poder resolver problemas como 3 - 5. Antigamente, parecia impossível retirar cinco ovelhas de três ovelhas, mas os banqueiros medievais tinham uma idéia muito clara de dívida: "você me pede cinco ovelhas e depois me paga três, de forma que fica me devendo duas", que é como dizer (+3) - (+5).

Os números racionais

São razões entre números inteiros: 3/4, -2/5, etc...

Números irracionais

São todos aqueles números que não podemos expressar como frações entre números inteiros, como por exemplo o número "pi" (3,141592...). Em contrapartida podemos por como fração o número 0,25, que seria 1/4.

Números reais

Incluem os números racionais e irracionais.

O próximo passo nesta escala seria o dos números complexos. Uma das formas matemáticas na qual se expressa um número imaginário é na fórmula "a+bi", onde "a" e "b" são números reais, e o "i" representa a raiz quadrada de -1. O "a" é denominado a parte real do número complexo e a quantidade "ib" representa a parte imaginária o número complexo. O mesmo número complexo com a parte imaginária com sinal contrário (no lugar de ib, -ib) se diz que é o complexo conjugado do número anterior.

Existe outra expressão matemática para designar um número complexo, que recebe o nome de "fator"; não entraremos em detalhes, mas é outra forma de expressar a mesma coisa. A solução para muitas situações matemáticas pode ser encontrada com números complexos, sendo uma das mais habituais a resolução de equações de polinômios e sistemas de equações.

Mas qual é a origem destes números?

Os números complexos vêm sendo utilizados pelos matemáticos antes mesmo de receberem este nome e se definirem adequadamente, de modo que é difícil estabelecer como se originaram. O primeiro exemplo de problema que conduz ao que hoje conhecemos como números complexos, data dos ano 50 a.C., quando Heron de Alexandría tentava resolver a expressão [raiz quadrada(81-144)], em um problema do campo da estereometría.

 

 

 

 

A próxima referência foi encontrada na Índia, no ano 850, quando Mahavira escreveu: "...como acontece na Natureza, um número negativo não possui raiz quadrada". Em 1545 Girolamo Cardano deu a estes números o nome de "fictícios". Também em 1545, Cardano investigava sobre a obtenção de raízes de polinômios e os classificou segundo seu comportamento.

 

Girolamo Cardano

Foi finalmente Rene Descartes que deu a designação de "parte real" e "parte imaginária". Em 1702 Gottfried Wilhem von Leibniz descreveu os números complexos como "...a maravilhosa criatura de um trabalho imaginário, quase um anfíbio entre as coisas que são coisas e as coisas que não são". Mais tarde, Euler em 1777 introduziu a notação "i" e "-i" para distinguir as duas raízes quadradas de -1, e chamou estas quantidades de "imaginárias". Também estendeu as funções de tipo exponencial, introduzindo nelas um argumento complexo. Em 1797 Wessel e posteriormente Gauss em 1799 deram uma interpretação geométrica aos números complexos, contribuindo com isto para clarear sua interpretação.

Descartes

Leiniz

Euler

Gauss

 Finalmente, em 1833 Hamilton propôs a expressão matemática dos números complexos como "a + ib" com "a" e "b" reais, recuperando os termos introduzidos por Descartes de "parte real" e "parte imaginária". Considera-se que este seja o marco de início da moderna formulação dos números complexos.

                                                                                 Adaptado de texto publicado em http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,6752,OI109685-EI1426,00.html em 30/05/2003.