MATRIZES

É comum nos depararmos com conjuntos de números que são operados essencialmente da mesma maneira. Isto sugere tratá-los em bloco, de forma única. Esta forma de tratamento é possível através do uso de elementos matemáticos chamados Matrizes.
Foi apenas em meados do século XIX que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, por volta de 1826. Ele as chamou de tableau (= tabela).
O nome Matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. O significado coloquial da palavra matriz, é: local onde algo se gera ou cria. Sylvester as via como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ). Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. A referência mais antiga a matrizes, entretanto, data de aproximadamente do ano 2500 a.C., no livro chinês Chui-Chang Suan-Shu (Nove capítulos sobre a arte matemática). Este livro apresenta problemas sobre a mensuração de terras, agricultura, impostos, equações, etc. Um destes problemas é resolvido com cálculos efetuados sobre uma tabela, tais como efetuamos hoje com as matrizes.Atualmente, as matrizes são muito utilizadas em várias áreas de conhecimento. Suas aplicações se dão na Matemática, Física, Engenharia e Computação, por exemplo.Para saber mais sobre a história das Matrizes, clique aqui.

Definição

Podemos entender uma matriz como sendo uma tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Dizemos que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n). Exemplos:

A = ( 1 0 2 -4 5)

é uma matriz de uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 x 5)

é uma matriz de três linhas e quatro colunas (matriz 3 x 4)

é uma matriz de três linhas e quatro colunas (matriz 3 x 4)

A matriz C possui o número de lihas igual ao de colunas. Dizemos, então que ela é uma matriz quadrada de ordem 3x3 ou, simplesmente, Matriz de ordem 3.

Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij)mxn , onde aij é o elemento da linha i e coluna j da matriz.

Na matriz C do exemplo anterior , temos a23 = -4, a33 = 3, a31 = 8, e assim sucessivamente.

Desta forma podemos generalizar uma Matriz pela expressão aij, da seguinte forma:

Tipos de Matrizes

NOME

CARACTERÍSTICA

EXEMPLO

Linha

Possui apenas 1 linha

A = (2 3 -1 4 )

Coluna

Possui apenas 1 coluna

Quadrada

Possui a mesma quantidade de linhas e colunas

Diagonal

Matriz quadrada que possui os elementos da diagonal principal diferentes de zero e os demais elementos iguais a zero.

Identidade

Matriz diagonal que possui os elementos da diagonal principal iguais a um e os demais elementos iguais a zero.

Nula

Matriz que possui todos os elementos iguais a zero

Triangular Superior

Matriz quadrada em que os elementos localizados abaixo da diagonal principal são nulos.

Triangular Inferior

Matriz quadrada em que os elementos localizados acima da diagonal principal são nulos.

Operações com matrizes

As operações possíveis de serem realizadas entre duas ou mais matrizes são a Adição, Subtração, Multiplicação e Transposição.

1. Adição e subtração de Matrizes:

Para somarmos ou subtrairmos duas matrizes basta que somemos ou subtraiamos os seus elementos de mesma posição. Veja os exemplos:

Nas operações de adição e subtração de matrizes só podemos somar e subtrair matrizes de mesma ordem. A matriz resposta terá a mesma ordem das matrizes somadas ou subtraídas. Desta forma, a soma A(m x n) + B(m x n) = C(m x n).

Propriedades da soma entre Matrizes:

a) A + B = B + A

b) (A + B) + C = A + (B + C)

c) A + O = O + A = A

d) A + (-A) = (-A) + A = O

2. Multiplicação de Matrizes:

Separamos a multiplicação de matrizes em dois casos: multiplicação de um número real por uma matriz e multiplicação de matrizes entre si.

2.1. Multiplicação de um número real por uma Matriz:

Para multiplicarmos um número real por uma matriz, basta que cada elemento da matriz seja multiplicado pelo número real em questão.

Por exemplo:

Propriedades da multiplicação de um número real por uma Matriz:

a) k. (n. A) = (k.n).A

b) (k + n).A = k.A + n.A

c) k.(A + B) = k.A + k.B

d) 1.A = A

e) 0. A = 0

f) k.O = O

2.2. Multiplicação entre matrizes

A multiplicação entre matrizes exige algumas condições iniciais. A principal é que, para que exista o produto de duas matrizes A e B, o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de linhas de B.

A(m x n) x B(n x q) = C(m x q)

Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q, a matriz produto C tem ordem m x q. Veja a tabela a seguir:

Ordem da matriz A

Ordem da matriz B

Ordem da matriz AxB

2 x 7

7 x 5

2 x 5

3 x 4

4 x 2

3 x 2

4 x 4

4 x 4

4 x 4

2 x 5

2 x 5

produto inexistente

3 x 6

4 x 8

produto inexistente

Algoritmo prático para cálculo do produto entre matrizes:

Para efetuar o produto entre duas matrizes A e B, podemos utilizar o seguinte algoritmo prático:

Veja o exemplo:

Dadas as matrizes

Como B(4 x 3) e C(3 x 3), o produto será D(4 x 3)

Então a matriz produto D será:

Propriedades do Produto entre matrizes:

a) A.B é diferente de B.A

b) (A.B).C = A.(B.C)

c) C.( A + B) = C.A + C.B

d) (A + B).C = A.C + B.C

e) A.I = I.A = A

f) A.O = O

3. Matriz Transposta

A matriz transposta é conseguida quando permutamos linhas por colunas e vice-versa. Por exemplo:

Observe que a ordem da matriz A é 2 x 3 e a ordem da matriz transposta é 3 x 2. Deste modo, se a matriz original possui ordem m x n, a matriz transposta terá ordem n x m.

Propriedades da matriz transposta:

a) (At)t = A

b) (A + B)t = At + Bt

c) (n.A)t = n.At

d) (A.B)t = Bt . At

e) No caso de matrizes quadradas, se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.

f) Ainda para matrizes quadradas, se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.

g) Sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) .

Você pode construir suas matrizes e realizar algumas operações com programas específicos. Sugerimos o matrix ou o winmatrix, que você pode baixar clicando sobre o nome dos arquivos.

Equações Matriciais

Uma equação é chamada de Matricial quando envolve matrizes em suas operações. Por exemplo:

Dadas as matrizes A e B a seguir, calcule a Matriz X, dada pela equação 2A + X = 3B:

Resolução:

Se 2A + X = 3B, então

X = 3B - 2A

Você pode verificar algumas propriedades de Matrizes, on-line, clicando aqui.

MATRIZ INVERSA

Chamamos de Matriz inversa à matriz quadrada de ordem n que, ao ser multiplicada pela matriz inicial, resulta na matriz identidade, ou seja:

A.A-1 = In

Podemos encontrar a matriz inversa da Matriz A, do seguinte modo:

Sendo

então a sua inversa será tal que:

realizando a multiplicação entre as matrizes

podemos concluir que:

a = 1/2; b = 1; c = 1/2 e d = 0.

Chegamos, então à matriz inversa, de A, dada por:

Você pode calcular matrizes inversas, on-line, clicando aqui

Veja mais sobre Matrizes, clicando aqui.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA , vol. único. Editora Moderna.
2. TROTTA, Fernando. MATEMÁTICA POR ASSUNTO, vol. 5.
Editora Scipione.
3.
http://www.terra.com.br/matematica/arq12-1.htm.
4.
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/206/mod206a.htm.
5.
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/206/mat3x3.htm.