A PARÁBOLA E SUAS APLICAÇÕES

A FUNÇÃO QUADRÁTICA

A parábola é obtida através do gráfico de uma função quadrática (função do segundo grau). Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a diferente de zero.
O gráfico de uma função do 2º grau é sempre uma parábola.

Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :

1) se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima, ou seja, tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo, ou sejam tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
xv = - b/2a
yv = - D /4a , onde D = b2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.

Você pode verificar estas propriedades construindo, on-line, suas próprias parábolas, clicando aqui.

Você pode construir suas parábolas em programas de construção de gráficos. Sugerimos o wingraph ou o matgraf , que você pode baixar clicando sobre o nome dos arquivos.

A EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

A equação ax2 + bx + c = 0 é chamada de equação do segundo grau, pois apresenta o dois como maior expoente da incógnita. Para resolver estas equações, utilizamos a fórmula de Bhaskara, que permite calcular as duas raízes simultaneamente. A fórmula é a seguinte:

As raízes de uma equação do segundo grau também podem ser encontradas através de aplicativos próprios para tanto. Você pode utilizar um destes aplicativos, que pode ser baixado aqui.

APLICAÇÕES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

A parábola é uma das figuras mais importantes da Matemática e sua aplicabilidade prática é muito grande. Ela pode ser encontrada em muitas estruturas, físicas ou teóricas no nosso dia-a-dia. Como exemplo, podemos citar as antenas parabólicas, os fogões solares, os estudos de balística e aplicações na economia.
A parábola é a figura geométrica que apresenta como uma das suas características o fato de refletir todos os raios que nela incidem para um único ponto, chamado de foco da parábola. Esta característica lhe confere muitas utilidades práticas, tais como a utilização da radiação solar para fins domésticos, por exemplo, para cozinhar alimentos. Para isso deve-se concentrar essa radiação em pequenas regiões, utilizando-se lentes ou espelhos. Os fogões solares utilizam espelhos parabólicos para a concentração do calor. Os raios solares incidem na superfície do espelho e ao se refletirem passam pelo foco do espelho. O calor concentrado neste ponto é suficiente para cozinhar alimentos.
As antenas parabólicas apresentam funcionamento semelhante: as ondas eletromagnéticas são captadas pelas antenas e refletidas num único ponto, donde serão conduzidas a um decodificador que as transformará em imagem ou som.



As funções do segundo grau e suas respectivas parábolas são fundamentais nos estudos de balística, ciência que se ocupa do estudo do movimento de projéteis. Conhecidas as velocidades do projétil e o ângulo de elevação, é possível determinar a equação da trajetória que é um arco de parábola.
Para uma distância dada, sempre existem dois ângulos de elevação, que enviarão um projétil ao lugar desejado. Na prática pode ser necessária a mais alta das duas trajetórias para superar um obstáculo, ou o menor deles a fim de se evitar os radares inimigos. A única exceção é o ângulo de 45o, com o qual atingimos o maior alcance possível.
Imaginemos que uma determinada companhia petrolífera destine determinada verba para a construção de oleodutos ou a compra de caminhões. O dinheiro pode ser empregado apenas na compra de caminhões ou apenas na construção do oleoduto, ou ainda parte em cada um dos investimentos. Em economia, o gráfico originado do estudo destes investimentos chama-se curva de possibilidade de produção. Essa curva pode ser aproximada por uma função do segundo grau y = ax2 + bx + c, dando origem a um gráfico que será uma parábola.
Imaginemos agora que uma empresa venda seus produtos de modo que o preço unitário dependa da quantidade de unidades adquiridas pelo comprador. Por exemplo, se, sob determinadas restrições, para cada x unidades vendidas o preço unitário é 40 - (x/5) reais, então a receita é dada por uma função do segundo grau, chamada função receita. Uma análise da função receita nos permite tomar decisões acertadas no sentido de otimizar a lucratividade da empresa.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

Veja mais sobre este assunto consultando os seguintes endereços:

1. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/111/mod111b.htm

2. http://www.terra.com.br/matematica/arq1-17.htm

3. PAIVA, Manoel. Matemática, Volume Único. Editora Moderna, 1999.