SISTEMAS LINEARES

1 - Equação linear

Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da forma
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos.
a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente.

Exemplos de equações lineares:

4x1 + 2x2 = 9

3x + 4y = 5

-2x + 3y +5z = 12

-x -3y -7z + 3w = 17

2 - A solução de uma equação linear

Chamamos de solução de uma equação linear aos valores que, ao serem substituídos nas incógnitas, cheguem à uma igualdade verdadeira. Por exemplo: a equação x + y + z = 5 apresenta como solução os valores x = 1, y = 4 e z = 0, uma vez que 1 + 4 + 0 = 5. Os valores x = 3, y = 7 e z = -5 também são soluções da equação, uma vez que 3 + 7 - 5 = 5. Podemos, então, afirmar que existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada.

3 - Sistema linear

De foma geral, podemos dizer que um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto composto por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado da seguinte forma:


Resolver o sistema significa encontrar os valores das incógnitas que resolvem, simultaneamente, todas as suas equações.
Por exemplo: dado o sistema de equações:

Podemos afirmar que a sua solução será a tripla x = 1, y = 2 e z = 0, pois:

2.1 + 2 - 0 = 4

1 - 2 + 3.0 = -1

3.1 - 5.2 + 7.0 = -7

4 - Resolução de sistemas lineares.

Para resolver sistemas de equações, optaremos por utilizar um método de resolução conhecido como Regra de Cramer. Esta regra depende basicamente do uso de matrizes e determinantes.

Vamos resolver o sistema proposto inicialmente:

Para resolver um sistema, devemos inicialmente encontrar a sua Matriz Principal, que é dada pelos coeficientes das incógnitas. Desta forma, a matriz principal do sistema acima será:

Calculamos, então, o seu determinante. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X).

det (Mp) = 20.

A seguir, calculamos os determinantes das incógnitas, que são conseguidas quando substituímos, na matriz principal, a coluna de uma das incógnitas, pela coluna dos termos independentes. Temos, deste modo, as matrizes chamadas de Mx, My e Mz, das quais também devemos calcular os determinantes.

det (Mx) = 20
det (My) = 40
det (Mz) = 0

Após calculados os determinantes da matriz principal e das matrizes das incógnitas, chegamos aos valores de x, y, z, efetuando as seguintes divisões:

Chegamos, então, aos valores de x = 1; y = 2; z = 0.

OBS. Quando dois ou mais sistemas apresentam a mesma solução, eles são chamados de Sistemas Equivalentes.

Você pode calcular determinantes de terceira ordem, on-line, clicando aqui.

5 - Discussão de Sistemas Lineares

Um sistema linear pode apresentar três possibilidades diferentes de solução:

1. o sistema pode ter uma única solução (neste caso será chamado de sistema possível e determinado - SPD)

2. o sistema pode ter infinitas soluções (neste caso será chamado de sistema possível e indeterminado - SPI)

3. o sistema pode não apresentar solução (neste caso será chamado de sistema impossível- SI)

Exemplos especiais de sistemas com respeito às suas soluções:

Sistema com uma única solução
As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.

x + 2y = -1
2x – y = 8

Sistema com infinitas soluções
As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).

2x + y = 50
4x + 2y = 100

Sistema que não tem solução
As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.

x + 3y = 2
2x + 6y = 7

No caso de sistemas com três ou mais incógnitas vale a mesma classificação. Por exemplo:

O sistema

é um sistema possível e determinado (SPD), pois apresenta apenas a solução x = 1; y = 2; z = 3 (verifique!).

O sistema

é um sistema possível e indeterminado (SPI), pois apresenta infinitas soluções. Entre estas soluções estão x = 0; y = -3; z = 1 e x = 1; y = -2; z = 3 (verifique!)

O sistema

é um sistema impossível (SI), pois não apresenta solução.

Podemos afirmar que um sistema linear S de n equações, com incógnitas x1, x2, ..., xn, será SPD, SPI ou SI se atender às seguintes condições:

Se Mp diferente de zero Sistema Possível e Determinado (SPD)
Se Mp = 0 e Mxi = 0, para todo xi Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Se Mp = 0 e existe Mxi diferente de zero Sistema Impossível (SI)

Você pode resolver sistemas com o auxílio do executável winmatrix, que pode ser baixado clicando aqui.

6 - Sistemas Lineares Homogêneos

Um sistema linear é chamado de homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução conhecida como trivial, que é a solução identicamente nula (x = 0; y = 0; z = 0, xi = 0). Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado (SPD)se admitir somente a solução trivial ou indeterminado (SPI) se admitir outras soluções além da trivial.

Por exemplo: o sistema


é determinado, pois possui apenas a solução x = 0; y = 0; z = 0.

Já o sistema

é indeterminado, pois admite infinitas soluções, entre elas x = 0; y = 0; z = 0 e x = 2; y = 0; z = 1.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA , vol. único. Editora Moderna,

2. PIERRO NETO, Scipione e ALMEIDA, Nilze. MATEMÁTICA: Curso Fundamental, vol. 2. Editora Scipione.

3. http://www.terra.com.br/matematica/arq12-1.htm

4. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/206/mod206c.htm

5. http://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/geniomat/cramer.html